ЗАДАНИЕ

Пусть объектом исследования будет обычный прямоугольник, описываемый восьмью признаками. Скрытыми факторами будут являться высота и длина прямоугольника.

Признаки несут следующую смысловую нагрузку:

x₁= периметр ABCD

x₂= длина окружности

x₃= периметр AFE

x₄= отрезок ED

x₅= периметр EFCD

x₆= диагональ AF

x₇= периметр ABFE

x₈= средняя линия трапеции ABCE

Таким образом, каждый из признаков , входящий в исследуемый набор, может быть представлен как функция двух общих факторов и специфического фактора:

X₁=2F1+2F2+U₁

X₂=πF1+U₂

X₃=(2+√2)F1+U₃

X₄=F1-F2+U₄

X₅=2F2+U₅

X₆=√2F1+U₆

X₇=4F1+U₇

X₈=0.5F1+0.5F2+U₈

Априорно известно, что признаки распределены по нормальному закону. Требуется провести факторный анализ и определить скрытые определяющие факторы. Создайте таблицу данных из 8 переменных и 100 объектов, используя специальную функцию генерации случайных нормально распределенных чисел.

РЕШЕНИЕ

Заполнение исходных данных

Заполним исходную таблицу нормально распределёнными случайными значениями с единичной дисперсией и математическими ожиданиями (размер прямоугольника принят равным 3 Х 4 единицы), равными соответственно:

Рассчитаем математическое ожидание:

Таблица с исходными данными:

X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8
10,1936002	9,09881468	10,3003488	1,27809091	7,68644687	5,54755252	13,1792678	3,66149508
10,7281468	8,34565251	11,4443978	-0,809733258	8,3680776	3,49760581	11,8205143	3,2170901
9,82518592	9,95486213	9,2846984	1,72224683	9,00639192	4,57926314	11,9832827	3,87724311
8,18210648	10,8652522	11,3868242	1,76946141	8,09647136	3,4237379	13,0802372	3,49081605
10,0139529	9,25672929	9,71318694	1,74223846	9,37551478	4,88753948	11,0330322	2,76876666
10,0954548	9,44369797	12,0219971	1,353845	7,69539363	3,30919107	12,9631405	2,7888879
9,41575437	9,97000745	10,186258	-0,991619258	9,13523821	2,87275527	12,7478892	2,45457253
10,2619703	9,40044855	9,5092336	1,49904458	8,63335686	4,09076037	11,1341319	1,98810919
10,5390952	10,7665757	10,5747601	0,392204782	5,89133341	3,9904069	12,1055814	3,59440863
8,66048289	9,51648305	9,24739733	2,56699673	7,29418307	3,83003667	11,0503064	5,61236418
7,4452721	10,2810331	9,72705561	-0,74899938	7,89139144	6,22421631	11,1177909	5,34979871
10,3947434	8,85269923	10,6076245	-0,206491325	8,37019082	2,40665464	10,8737541	4,92592202
10,4944998	10,1352436	10,4390897	0,317484779	8,87242856	4,17206966	12,4948007	4,51395852
10,7195465	9,84199972	10,7359235	1,49188244	9,85621761	4,38706363	12,9223375	3,98056334
10,5731094	10,1649984	8,53263196	1,13499019	9,53319408	5,47985165	12,219119	4,8538657
11,2955276	9,62270726	11,1146658	1,85916391	7,07859531	5,62139884	11,8751748	3,1122095
10,7231971	9,01053082	9,331406	1,03960509	8,29458018	3,1004361	12,9517767	3,29345991
8,03874525	10,2341062	11,0806161	1,88187933	7,92194506	3,45361498	12,043237	3,00838732
11,8488794	8,93308498	10,7183387	0,902503599	7,75583261	3,40275873	11,4580944	4,68688495
9,21186847	10,624872	10,2057846	1,59816941	7,03752039	3,44114988	10,9119974	4,61434741
7,27627031	8,9858167	9,99937474	2,79299343	6,7646988	3,15393659	12,2599342	2,24363704
10,3449172	9,17093902	8,6988745	1,96327013	7,78856649	4,52762407	9,6421378	4,3277053
10,1571994	10,0875395	10,6905616	1,84071938	7,46699172	2,5633105	11,5679859	4,28855693
9,7725065	8,32764306	10,7382617	1,46447191	6,10216233	6,05978176	14,5549257	2,85647576
11,0053934	9,72516077	11,370998	1,76664599	7,19552689	4,83784123	10,7059065	4,12049358
10,8871636	11,4598781	9,4647182	1,12921672	7,37600028	3,95268113	12,6036925	2,65395715
10,3747681	8,61776636	10,7668525	2,47669806	9,24127536	4,62506502	12,6901828	3,29275507
9,66538677	10,2629153	11,4374601	1,90039504	6,52274272	4,68602518	13,3004582	3,8308677
10,8156514	8,15273799	7,92718025	4,40847058	5,84266461	3,3980753	11,722708	4,01128186
8,83439612	9,63930903	11,0544747	1,11481451	8,60562649	3,89759508	11,8019127	2,35809112
9,15204693	7,92672755	10,0534854	0,84748964	8,01030856	4,50870038	11,2932918	3,64858387
9,81427586	9,18999498	11,9161266	2,78577111	6,53045019	2,74558135	11,8414946	3,48318902
8,35021958	9,44756353	7,40326554	0,177486484	7,1728975	5,45084792	11,7107173	3,59849644
9,89623674	10,4000155	10,6023628	-0,216674906	7,77811863	4,76242764	10,4178678	2,17655729
10,0696539	9,4937564	11,8565499	0,756622981	7,76782306	4,07451894	12,3067641	4,66335212
9,9376075	9,72878348	9,65112257	1,11138373	7,94419431	4,61591063	13,5469655	3,63798491
9,25534351	9,85929626	11,3927098	1,48767974	9,67290066	4,22012627	11,3877924	3,28288186
9,63469907	9,28376673	10,2496298	0,1993168	8,92076726	4,46781568	13,5507816	3,78905338
9,89336224	8,50520852	10,8739375	2,77460723	8,38367583	4,91074346	13,7478709	3,56546448
8,15264311	10,9614652	9,23577845	0,934511389	8,23415748	4,69890173	11,4853344	5,53707676
10,7401464	5,83836985	9,0853085	1,10725959	8,52771402	3,13163149	10,4914707	3,42331234
10,855576	8,97025574	10,3090532	-1,4848352	7,16675348	3,9918021	10,5060637	4,69530969
10,443502	7,66949735	10,0729974	-0,267197133	10,6047313	3,25214305	12,84948	3,24110572
10,4595918	7,24731697	11,597993	0,775883664	7,60436746	5,7294298	11,8604967	3,24896729
8,92981861	9,33420188	11,0447721	-0,96346317	8,27535653	4,32377782	11,7220768	4,30203952
9,08465077	9,88819052	9,31209771	2,12022961	8,85419528	2,73240477	10,7822833	3,58821815
10,435475	10,1479323	10,6277439	1,3580469	7,1531944	2,00377504	14,0958966	4,38234126
9,51230697	10,1532359	10,9219713	-0,0483922536	6,52801277	4,77017073	12,7065631	2,98020057
7,49313418	10,2932546	9,50616417	0,352034824	6,98075447	4,92069562	12,6332913	3,85862927
8,82707052	8,35586168	11,1445154	0,167540787	6,07855112	3,61454981	12,3149567	3,35313277
9,65822369	8,67697392	9,92167471	1,24625136	7,42959796	4,21810083	11,4567004	3,74694618
7,96419942	9,57985687	10,8978208	-0,99761435	7,37872076	3,91754031	13,3048193	4,00224721
8,444164	8,7206487	11,0028828	2,61178409	7,03253015	4,59069593	12,8208752	3,70291192
11,0585661	8,69989011	10,2423531	0,0914315945	6,72690721	3,62104211	14,7591489	2,54912492
10,9159418	10,4303707	10,2436172	2,12208392	7,70233879	6,36207152	12,9138298	2,3169308
9,20468557	9,88608596	8,81501566	1,66975216	6,68312533	4,69798691	11,9423611	3,35340859
10,0641574	9,77944204	9,45164991	2,42520651	7,29178816	4,72385153	12,3912897	2,77402776
10,1136486	8,59652933	10,274799	1,45822503	7,6589432	3,86146968	13,0694359	3,39507698
10,2922603	11,0341682	11,4267896	0,248462063	9,25293885	4,53529377	11,9739965	3,98693406
10,4919237	8,12118572	7,60293885	1,52475285	7,37345326	3,75401805	11,2659505	3,18551386
8,86026119	9,15033677	11,5434201	2,33115388	8,7871615	3,48838793	10,2871062	2,54392662
9,03584655	8,01971123	9,37982345	0,853356363	8,20603196	6,08853438	11,2073771	2,78340995
9,2477282	10,0011919	10,9738445	0,689802012	6,39938316	4,27621929	12,8663463	3,53601073
8,72101616	7,86673535	9,32426903	0,491880165	11,1668407	4,41124442	11,1912805	3,90947725
11,030719	9,45590522	8,34261448	-0,150025515	8,02429168	2,31552266	13,4626052	2,6066445
9,36012563	8,78877626	9,29028163	2,27626473	10,3025414	2,96717701	9,74075992	3,49472197
10,4469946	10,2972888	10,6670265	-0,318599387	8,4181832	5,53378721	13,0260588	5,56145963
10,9148596	9,43490779	10,0599809	2,53460487	6,95534597	3,18977426	12,7582325	4,48458845
10,2168118	10,8642162	11,4168696	1,41557212	9,5883467	4,43098653	10,6202725	2,79433466
10,5580862	9,33738144	8,94826172	0,10433875	8,31869068	5,65289273	13,3859974	4,59636597
9,44321901	8,6447182	9,48188562	2,21366989	6,24897164	4,75544612	11,7388476	2,12711324
10,8128301	8,12541318	10,7735425	0,770577238	7,69270961	3,18892895	11,0973416	4,66919211
9,20108607	10,0124586	10,8054499	0,713758858	8,66014651	4,57611798	12,1591704	4,29114556
9,66595514	8,30653578	9,85364384	3,45236181	9,19413082	4,50593014	11,9579409	3,70508047
9,88442482	9,19898872	10,6271348	-0,0342597429	7,2484211	4,99656126	13,5479412	5,2545336
9,64985578	9,04869436	9,9406724	2,52523776	6,21447005	4,30631212	12,4461893	2,60928496
11,1318205	10,6567536	9,13212563	-0,716795058	7,70493171	4,81756087	10,506347	3,85848324
10,9961724	9,60784544	10,2103988	1,51043136	6,95404811	5,75227097	12,1077568	3,94724943
11,0014867	9,24710719	10,1024635	-0,20286862	6,32955464	4,34094828	11,1868967	3,73858088
9,38785918	8,5459212	10,7254014	0,125939901	7,6659824	2,99170329	13,4942479	1,67710721
8,78978573	8,8828892	7,81609215	3,5155525	7,32353461	5,07692865	10,2195224	2,32764189
8,91492075	11,6602196	11,1708825	0,876567867	8,72309251	5,79709305	12,7633476	2,4406857
9,77400636	8,34741164	10,3877565	1,88110544	7,40983729	4,45739798	10,1926648	1,9574525
10,4158983	9,38828707	11,4264533	-0,643694136	8,33083441	3,35695214	13,5956687	2,96563096
8,69669219	9,91519195	8,58990954	1,19178054	8,48110621	5,8178739	11,2066205	1,5770561
9,48858732	7,4407797	10,695745	1,12489352	6,88416315	4,68202559	12,3138524	4,35642654
9,61550449	10,1207995	11,2079595	1,03104269	8,74939531	4,85125146	12,3959121	3,64213323
10,6819886	11,5426209	11,3651847	0,486354013	8,43796349	5,83995993	11,8832402	3,87099397
10,6915327	8,99905995	8,71694821	-0,493858048	6,87852104	3,81226078	11,3056753	5,80933164
10,381333	10,9805367	10,4324736	2,04447627	5,92510291	3,32600713	11,6237994	4,490702
9,06505065	8,02231057	10,0561832	0,50429092	7,65701784	5,54800064	11,6999861	0,758627787
9,47829365	7,92974041	10,7937843	0,723500379	9,74559061	6,28702041	12,6493144	3,58492209
10,3606907	8,87757166	8,8338488	0,809041635	6,97103793	4,12107362	12,4717955	4,71392989
8,58317062	10,7394723	8,99585349	1,89975584	8,79534288	4,78900343	11,7568142	5,31045635
9,76349746	7,68681586	8,65382248	-0,555545049	8,35787029	4,86357554	12,3313509	5,12556445
11,6479834	10,3975719	10,7316468	-0,468992721	6,68266912	3,4495995	11,3358627	3,95139959
8,81066181	8,66674661	10,5019775	1,22215302	6,39650065	2,45785605	12,1527126	4,58910451
11,7347202	8,81735979	10,0812013	-0,422267055	8,12698892	4,73072803	13,1499592	3,19161322
9,85760561	8,28168298	7,23629909	0,0694339568	8,42051117	5,46011673	11,9561397	4,73416308
10,1487882	9,84287449	9,75300698	1,65466881	8,5351512	3,24433755	13,5881758	3,36622636

 

Расчет корреляционной матрицы

Полученная корреляционная матрица:

	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8
X1	1,00	-0,07	0,04	-0,13	-0,04	-0,10	0,07	0,08
X2	-0,07	1,00	0,18	-0,04	-0,03	0,07	0,06	0,10
X3	0,04	0,18	1,00	-0,09	-0,01	-0,11	0,22	-0,10
X4	-0,13	-0,04	-0,09	1,00	-0,11	-0,06	-0,12	-0,18
X5	-0,04	-0,03	-0,01	-0,11	1,00	0,08	-0,12	-0,02
X6	-0,10	0,07	-0,11	-0,06	0,08	1,00	0,02	-0,04
X7	0,07	0,06	0,22	-0,12	-0,12	0,02	1,00	-0,05
X8	0,08	0,10	-0,10	-0,18	-0,02	-0,04	-0,05	1,00

 

Преобразуем полученную матрицу в матрицу редуцирования:

	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8
X1	0,93	-0,07	0,04	-0,14	-0,05	-0,09	0,07	0,08
X2	-0,07	1,04	0,19	-0,05	-0,03	0,07	0,06	0,10
X3	0,04	0,19	1,09	-0,11	-0,01	-0,11	0,24	-0,10
X4	-0,14	-0,05	-0,11	1,27	-0,14	-0,06	-0,15	-0,20
X5	-0,05	-0,03	-0,01	-0,14	1,18	0,09	-0,13	-0,02
X6	-0,09	0,07	-0,11	-0,06	0,09	0,98	0,02	-0,04
X7	0,07	0,06	0,24	-0,15	-0,13	0,02	1,09	-0,05
X8	0,08	0,10	-0,10	-0,20	-0,02	-0,04	-0,05	0,96

 

Выделение первоначальных ортогональных факторов:

В качестве метода выделения факторов выберем метод главных компонент.

Предварительные результаты факторного анализа:

Предварительный факторный анализ дал следующие результаты:

— десятичный логарифм детерминанты корреляционной матрицы: -0,12273

— число выделенных факторов: 2

— собственные значения: 1,40914 и 1,24003

Таким образом, F₁ = 1,40914 , F₂ = 1,24003

Таблица и график факторных нагрузок до вращения выглядят следующим образом:

В приведённой таблице нет нагрузок, превышающих по модулю 0.7.

Вращение факторов

В качестве метода выберем метод варимакс нормализованный.

В результате получим следующие таблицу и график факторных нагрузок:

В таблице для каждого фактора найдено по одному значению факторной нагрузки, значение которой по модулю превышает 0,7.

Переменные x₃ и x₄ описывают в большей мере исследуемый прямоугольник.

Оценка значений факторов

Результаты показывают, что исследуемый прямоугольник характеризуется только переменными x₃ и x₄. Первая переменная это периметр AFE, а вторая это отрезок ED.

Скачать архив с файлами Statistica для лабораторной работы №4