Задание.

Тема теоретической части курсовой работы:

Метрические пространства. Граничные точки. Фундаментальные последовательности. Полнота. Примеры.

Соответствующая   задача   на   составление   программы в программной среде Turbo Pascal:

Во множестве всех последовательностей длины n состоящих из нулей и единиц введем расстояние. Расстояние между двумя последовательностями равно количеству соответствующих несовпадающих элементов. Перечислить все элементы лежащие в шаре с данными радиусом и центром

Введение.

Одной из важнейших операций анализа является предельный переход. В основе этой операции лежит тот факт, что на числовой прямой определено расстояние от одной точки до другой. Многие фундаментальные факты анализа не связаны с алгебраической природой действительных чисел (то есть с тем, что они образуют поле), а опираются лишь на понятие расстояния. Обобщая представление о действительных числах как о множестве, в котором введено расстояние между элементами, мы приходим к понятию метрического пространства – одному из важнейших понятий современной математики. Ниже мы изложим основные факты теории метрических пространств.

 

Теоретическая часть.

Метрические пространства. Примеры.

Определение метрического пространства

Множество X = {x, y, z, …} называется метрическим пространством X, если на множестве упорядоченных пар (x, y) элементов этого множества определена неотрицательная функция ρ (x, y), называемая расстоянием (или метрикой), такая, что:

1)   ρ (x, y) = 0 тогда и только тогда, когда x = y,

   2) ρ (x, y) = ρ (y, x), x ∈ X, y ∈ X (аксиома симметрии),

3)   ρ (x, y) ≼ ρ (x, y) + ρ (y, z), x ∈ X, y ∈ X, z ∈ X (аксиома треугольника).

Эти аксиомы называются аксиомами расстояния.

Элементы метрического пространства называются точками.

Обозначение. Метрическое пространство, то есть пара (X, p) обозначается, как правило, одной буквой:

R = (X, p)

Примеры метрических пространств.

1. Совокупность всех действительных чисел R, если расстояние между действительными числами определить как абсолютную величину их разности: p(x, y) = |x — y|, x ∈ R, y ∈ R, образует метрическое пространство.
2. Множество комплексных чисел C, расстояние между элементами которого задаётся по формуле p (z, z´) = |z – z´|, z ∈ C, z´∈ C также образует метрическое пространство.
3. Положив для элементов произвольного множества

мы получим, очевидно, метрическое пространство. Его можно назвать пространством изолированных точек.

4. Евклидово пространство Rⁿ размерности n является метрическим пространством, если расстояние между его точками x = (x₁, …, x_n) и y = (y₁, …, y_n) определить по формуле

Граничные точки.

Мы введём здесь некоторые понятия теории метрических пространств. Эти понятия мы неоднократно используем в дальнейшем.

Открытым шаром B (x₀, r) в метрическом пространстве R мы будем называть совокупность точек x ∈ R, удовлетворяющих условию

p (x, x₀) < r.

            Замкнутым шаром B [x, r] мы будем называть совокупность точек x∈R, удовлетворяющих условию

p (x, x₀) ≼r.

            Открытый шар радиуса ε с центром x₀ мы будем называть также ε – окрестностью точки x₀ и обозначать символом O_ε(x₀).

Множество M ⊂ R называется ограниченным, если оно содержится целиком в некотором шаре.

Точка x ∈ R называется точкой прикосновения множества M ⊂ R, если любая её окрестность содержит хотя бы одну точку из M. Совокупность всех точек прикосновения множества M обозначается [M] и называется замыканием этого множества. Таким образом, мы определили для множеств метрического пространства операцию замыкания — переход от множества M к его замыканию [M] .

Теорема 1. Операция замыкания обладает следующими свойствами:

1. M ⊂ [M],
2. [[M]]=[M],
3. если M₁ ⊂ M₂, то [M₁] ⊂ [M₂],
4. [M₁ ∪ M₂] = [M₁] ∪ [M₂].

Доказательство. Первое утверждение очевидно, так как всякая точка, принадлежащая M, является, для M точкой прикосновения. Докажем второе.

Пусть x ∈ [[M]]. Тогда в любой окрестности O_ε(x) этой точки найдётся точка x₁ ∈ [M]. Положим ε – p (x, x₁) = ε₁ и рассмотрим шар O_ε1(x₁). Этот шар целиком лежит внутри шара O_ε(x). Действительно, если z ∈ O_ε1(x₁), то p (z, x₁) < ε₁, и так как p (x, x₁) = ε – ε₁, то по аксиоме треугольника

p (z, x) < ε₁ + (ε – ε₁) = ε,

то есть z ∈ O_ε(x). Так как x₁ ∈[M], то в O_ε1(x₁) найдётся точка x₂ ∈ M. Но тогда x₂ ∈ O_ε1(x₁). Так как O_ε(x) – произвольная окрестность точки x, то x ∈ [M]. Второе утверждение доказано.

Третье свойство очевидно. Докажем, наконец, четвёртое свойство.

Если x ⊂ [M₁ ∪ M₂], то x содержится по крайней мере в одном из множеств [M₁] или [M₂], то есть

[M₁­ ∪ M₂] ⊂ [M₁] ∪ [M₂}.

Так как M₁ ⊂ M₁ ∪ M₂ и M₂ ⊂ M­₁ ∪ M₂, то обратное включение следует из свойства 3). Теорема доказана полностью.

Определение предельной точки

Предельной точкой называется точка x ∈ R множества M ⊂ R, если любая её окрестность содержит бесконечно много точек из M.

Предельная точка может принадлежать, а может и не принадлежать M. Например, если M – множество рациональных чисел из отрезка [0, 1], то каждая точка этого отрезка – предельная для M.

Определение изолированной точки

Изолированной точкой называется точка x, принадлежащая M, если в достаточно малой её окрестности O_ε(x) нет точек из M, отличных от x.

Отсюда можно заключить, что замыкание [M] состоит, вообще говоря, из точек трёх типов:

1. изолированные точки множества M;
2. предельные точки множества M, принадлежащие M;
3. предельные точки множества M, не принадлежащие M.

Таким образом, замыкание [M] получается присоединением к M всех его предельных точек.

Фундаментальные последовательности.

Определение сходимости

Сходимость. Пусть x₁, x₂, … — последовательность точек в метрическом пространстве R. Говорят, что эта последовательность сходится к точке x, если каждая окрестность O_ε(x) точки x содержит все точки x_n­, начиная с некоторой , то есть если для всякого ε > 0 найдётся такое число N_ε, что O_ε(x) содержит все точки x_n c n > N_ε. Точка x называется пределом последовательности {x_n}.

Это определение можно сформулировать и следующим образом: последовательность {x_n} сходится к x, если

Непосредственно из определения предела вытекает, что:

1. Никакая последовательность не может иметь двух различных пределов;
2. если последовательность {x_n} сходится к точке x, то всякая её подпоследовательность сходится к той же самой точке.

Определение фундаментальной последовательности точек метрического пространства

Последовательность точек метрического пространства X называется фундаментальной, если для любого числа ε > 0 существует такой номер n_ε, что для всех номеров n ≽ n_ε и m ≽ n_ε выполняется неравенство

p (x_n, x_m­) < ε

Лемма о фундаментальной последовательности

Если последовательность {x_n} сходится, то она фундаментальная.

Доказательство.

Пусть

Тогда для любого числа ε > 0 существует такой номер n_ε, что для всех номеров n ≽ n_ε справедливо неравенство

Следовательно, если n ≽ n_ε и m ≽ n_ε

Полнота.

Определение полного метрического пространства

Метрическое пространство называется полным, если всякая фундаментальная последовательность его точек сходится к его же точке.

Определение изометричных метрических пространств

Два метрических пространства X и X′ называются изометричными, если между их точками существует взаимно однозначное соответствие f, сохраняющее расстояние, то есть такое, что если

x′ = f (x), y′ = f (y), x ∈ X, y ∈ X, x′ ∈ X′, y′∈ X′,

то p (x, y) = p(x′, y′) (такие соответствия также называются изометричными).

Очевидно, что метрическое пространство, изометричное полному пространству, также является полным метрическим пространством.

Примеры полных метрических пространств.

1. Метрические пространства действительных и комплексных чисел являются примерами полных метрических пространств
2. Полным является и n—мерное евклидово пространство Rⁿ.

Практическая часть:

Для запуска программы лучше запустить START.bat (для корректного отображения русских символов). Далее нужно следовать указаниям программы. Выход из программы – Ctrl+Break.
Текст программы:

 

Заключение

Мы изучили метрические пространства, их свойства. Была построена компьютерная математическая модель метрического пространства на ЭВМ, позволяющая находить все точки метрического пространства принадлежащие шару с заданным радиусом. При этом достоинством программы является то, что она выводит данные на экран постранично. Так же эта программа параллельно записывает данные в файл, который пользователь укажет в начале. Программа при запуске выводит условие задачи, которую она решает, на экран. Метрические пространства имеют большое значение в различных сферах человеческой деятельности. Мы, конечно, затронули не все стороны этой темы, а лишь основную часть. Но самые важные моменты этой темы мы отразили.

 

Список литературы:

• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа (в двух томах): Учебник для студентов университетов и втузов. М.: Высшая школа, 1981, т. II: —584 с., ил.
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа: Учебник для вузов. — 6-е изд., испр. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — 624 с.— ISBN 5-02-013993-9
• Канд. техн. наук, доцент Л. А. Павлов. Структуры и алгоритмы обработки данных в ЭВМ: Метод. указания к курсовому проектированию; изд. Чуваш. ун-т. Чебоксары, 1998. 28 с.

А. Л. Симаков. Алгоритмические языки и программирование: Метод. указания к курсовой работе; Чуваш. ун-т. Чебоксары. 1995. 36 с.

 

 

Скачать архив с исходными кодами программы