MATLAB. Lab2. Методы численного интегрирования функции

ЗАДАНИЕ:

Методами численного интегрирования (таб. 4.1) найти значения эллиптического интеграла с точностями e =1E-2, 1E-3, 1E-5.
Подынтегральная функция: f(x)=1/sgrt(1-sqr(sin(N))*sqr(sin(x))), где

N — порядковый номер студента в журнале;

Отрезок интегрирования [A,B]=[1,3].

N=16

Таблица 4.1

№	Наименование методов
1	левых прямоугольников
2	правых прямоугольников
3	прямоугольников со средней точкой
4	трапеций
5	Симпсона
6	трех восьмых
7	Ньютона-Котеса пятого порядка
8	Ньютона-Котеса шестого порядка
9	Гаусса четвертого порядка
10	Гаусса пятого порядка
11	Гаусса шестого порядка

ВЫБОР МЕТОДА:

Первый метод – (N mod 11) + 1.

Второй метод – 1 + ((номер первого метода + 6) mod 11).

Первый метод – (16 mod 11)+1=6 (трёх восьмых)

Второй метод – 1+((6+6) mod 11)=2 (правых прямоугольников)

АЛГОРИТМ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ ФУНКЦИИ:

Процедура, вычисляющая значение функции при заданном значении x:

Процедура, осуществляющая вычисление одного шага методом правых прямоугольников:

Основной алгоритм, осуществляющий нахождение интеграла функции методом правых прямоугольников:

Алгоритм, осуществляющий один шаг вычисления методом трёх восьмых:

Алгоритм, осуществляющий метод трёх восьмых:

Тексты программ:

Файл «Data.m»:

A=1;
B=3;
meps=3;
EPS=[1E-2, 1E-3, 1E-5]
e=EPS(3);
Y=0;

A=1;

B=3;

meps=3;

EPS=[1E-2, 1E-3, 1E-5]

e=EPS(3);

Y=0;

Файл «func.m»:

function F=func(x)
% fff=1/(1-((sin(16))^2)*(sin(x))^2)^0.5;
fff=x;
F=fff;

function F=func(x)

% fff=1/(1-((sin(16))^2)*(sin(x))^2)^0.5;

fff=x;

F=fff;

Файл «Lab2.m»:

%Laboratornay rabota number 2
% pause(on);
Data
% function  f(x)=1/sgrt(1-sqr(sin(N))*sqr(sin(x)))

% realizaziya metoda pravih pryamougolnikov 
% (Vtoroe zadanie)
% cstep=1;
% ce=e*2;
% m=1; N=6; I=0;Y=0; X=0; 
% I=rightrect(A,B,N);
% II=rightrect(A,B,N*2);
% ce=abs(I-II)
% CX=0; CY=0;
% while ((ce>e)&&(cstep<10))
%     I=II
%     N=N*2;
%     II=rightrect(A,B,N*2)
%     ce=abs(I-II)
%     CX(m)=N; CY(m)=ce;m=m+1;
%     cstep=cstep+1;
% end;
% I
% 
% plot(CY,CX);
% title('Graphic zavisimosti chisla iteraciy ot tochnosti');
% xlabel('tochnost');
% ylabel('kolichestvo iteraciy');


%realizaciya metoda 3/8
F=@func;
%  
 I=m38(A,B,F,1e-3)
  I=rightrect(A,B,F,1e-5)

%Laboratornay rabota number 2

% pause(on);

Data

% function f(x)=1/sgrt(1-sqr(sin(N))*sqr(sin(x)))

% realizaziya metoda pravih pryamougolnikov

% (Vtoroe zadanie)

% cstep=1;

% ce=e*2;

% m=1; N=6; I=0;Y=0; X=0;

% I=rightrect(A,B,N);

% II=rightrect(A,B,N*2);

% ce=abs(I-II)

% CX=0; CY=0;

% while ((ce>e)&&(cstep<10))

% I=II

% N=N*2;

% II=rightrect(A,B,N*2)

% ce=abs(I-II)

% CX(m)=N; CY(m)=ce;m=m+1;

% cstep=cstep+1;

% end;

% I

% plot(CY,CX);

% title('Graphic zavisimosti chisla iteraciy ot tochnosti');

% xlabel('tochnost');

% ylabel('kolichestvo iteraciy');

%realizaciya metoda 3/8

F=@func;

I=m38(A,B,F,1e-3)

I=rightrect(A,B,F,1e-5)

Файл «m38.m»:

function RES=m38(A,B,F,e)
 number_of_iteration=1;
ce=e*2;
I=0;dx=B-A;
    x=A;

        I=m38step(x,x+dx,F);
   

while (ce>e)
    x=A; dx=dx*0.5;
    II=0;
    while (x<B)
        II=II+m38step(x,x+dx,F);
        x=x+dx; 
    end;
    ce= abs(I-II) 
    I=II;
    
%     number_of_iteration=number_of_iteration+1;
  

end;
RES=I;

function RES=m38(A,B,F,e)

number_of_iteration=1;

ce=e*2;

I=0;dx=B-A;

x=A;

I=m38step(x,x+dx,F);

while (ce>e)

x=A; dx=dx*0.5;

II=0;

while (x<B)

II=II+m38step(x,x+dx,F);

x=x+dx;

end;

ce= abs(I-II)

I=II;

% number_of_iteration=number_of_iteration+1;

end;

RES=I;

Файл «m38step.m»:

function RES=m38step(A,B,F)
H=[1,  3,   3,   1];
N=8;m=1; x=A; n=3;dx=(B-A)/n;
I=0; Y=0;
%     while (x<B)
%         Y=feval(F,x);
%         I=I+Y*H(m);
%         m=m+1;     
%         x=x+dx;
%     end;

I=I+feval(F,x);
I=I+3*feval(F,x+dx);
I=I+3*feval(F,x+2*dx);
I=I+feval(F,x+3*dx);
I=(I/N)*3*dx;
RES=I;

function RES=m38step(A,B,F)

H=[1, 3, 3, 1];

N=8;m=1; x=A; n=3;dx=(B-A)/n;

I=0; Y=0;

% while (x<B)

% Y=feval(F,x);

% I=I+Y*H(m);

% m=m+1;

% x=x+dx;

% end;

I=I+feval(F,x);

I=I+3*feval(F,x+dx);

I=I+3*feval(F,x+2*dx);

I=I+feval(F,x+3*dx);

I=(I/N)*3*dx;

RES=I;

Файл «rightrect.m»:

function RES=rightrect(A,B,F,e); 
ce=e*2;
% cstep=1;
m=1;I=0; x=A;dx=(B-A);

    I=rightrectstep(A,B,F);


%CX=0; CY=0;
while (ce>e)
    x=A;
    II=0;
    dx=dx*0.5;
    while(x<B)
        II=II+rightrectstep(x,x+dx,F);
        x=x+dx;
    end;
    ce=abs(I-II);
    I=II;
   % CX(m)=N; CY(m)=ce;
%     cstep=cstep+1;
end;
RES=I;

function RES=rightrect(A,B,F,e);

ce=e*2;

% cstep=1;

m=1;I=0; x=A;dx=(B-A);

I=rightrectstep(A,B,F);

%CX=0; CY=0;

while (ce>e)

x=A;

II=0;

dx=dx*0.5;

while(x<B)

II=II+rightrectstep(x,x+dx,F);

x=x+dx;

end;

ce=abs(I-II);

I=II;

% CX(m)=N; CY(m)=ce;

% cstep=cstep+1;

end;

RES=I;

Файл «rightrectstep.m»:

function RES=rightrectstep(A,B,F)
I=0;dx=(B-A);X=0;
I=feval(F,B);
X=B;
I=I*dx;
RES=I;

function RES=rightrectstep(A,B,F)

I=0;dx=(B-A);X=0;

I=feval(F,B);

X=B;

I=I*dx;

RES=I;

РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ:

Eps	Метод 1	Метод 2
1e-2	1.9266	2.0526
1e-3	1.9266	2.0556
1e-5	1.92960867320958	2.05664334751894

ГРАФИК ЗАВИСИМОСТИ ЧИСЛА ИТЕРАЦИЙ ПО ПРАВИЛУ РУНГЕ ОТ ЗАДАННОЙ ТОЧНОСТИ:

Для метода трёх восьмых:

Для метода правых прямоугольников:

АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ:

Из результатов численного интегрирования видно, что метод правых прямоугольников даёт более точный результат, чем метод трёх восьмых.

ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ:

Из результатов работы программ видно, что метод правых прямоугольников намного точнее метода трёх восьмых и даёт результат быстрее, чем метод трёх восьмых.

Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Вс
			1	2	3	4
5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25
26	27	28	29	30	31

Добавить комментарий Отменить ответ