MATLAB. Lab3. Численное дифференцирование функций

ЗАДАНИЕ:

  1. С помощью интерполяционных формул Ньютона, Гаусса, Стирлинга и Бесселя найти значения первой и второй производных при данных значениях аргумента для функции, заданной таблично (таб. 3.1 и 3.2).
  2. Составить таблицу конечных разностей до пятого порядка включительно.
  3. Для функции (таб. 1.1) определить численно значения первой, второй и третьей производных и сравнить их с аналитической производной при шаге дифференцирования h=1E-1, 1E-3 и 1E-5.
  4. Выдать на терминал график зависимости погрешности численного дифференцирования от шага h.
  5. Подготовить отчет по работе.

Таб 3.2

     x        y (x)
1.5 10.517
2.0 10.193
2.5 9.807
3.0 9.387
3.5 8.977
4.0 8.637
4.5 8.442
5.0 8.482
5.5 8.862
6.0 9.701
6.5 11.132
7.0 13.302

 

  1. x=1.6+0.08n
  2. x=3.27+0.11n
  3. x=6.3-0.12n
  4. x=5.85-0.09n

(n=2,4,6,8,…,30).

n=16

 

Алгоритм вычисления первой и второй производной методами Ньютона, Стирлинга, Гаусса и Бесселя:

Присвоение начальных значений:

Алгоритм вычисления первой и второй производной методами Ньютона, Стирлинга, Гаусса и Бесселя: Присвоение начальных значений

Алгоритм вычисления следующих разностей (1 шаг от всего алгоритма вычисления разностей):

Алгоритм вычисления следующих разностей (1 шаг от всего алгоритма вычисления разностей)

Алгоритм вычисления всех разностей:

Алгоритм вычисления всех разностей:

Алгоритм вычисления производной методом Ньютона.

Первой производной:

Алгоритм вычисления производной методом Ньютона. Первой производной

Второй производной:

Алгоритм вычисления производной методом Ньютона. Второй производной

Алгоритм нахождения производных методом Гаусса:

Первой производной:

Алгоритм нахождения производных методом Гаусса: Первой производной

Второй производной:

Алгоритм нахождения производных методом Гаусса. Второй производной

Алгоритмы нахождения производных методом Стирлинга:

Первой производной:

Алгоритмы нахождения производных методом Стирлинга: Первой производной:

Второй производной:

Алгоритмы нахождения производных методом Стирлинга. Второй производной

Алгоритмы нахождения производных методом Бесселя:

Первой производной:

Алгоритмы нахождения производных методом Бесселя: Первой производной:

Второй производной:

Алгоритмы нахождения производных методом Бесселя. Второй производной

Тексты программ на MatLab:

Файл «Data.m»:

Файл «DNone.m»:

Файл «DN.m»:

Файл «DerivativeNyuton1.m»:

Файл «DerivativeNyuton2.m»:

Файл «DerivativeGauss1.m»:

Файл «DerivativeGauss2.m»:

Файл «DerivativeStirlinga1.m»:

Файл «DerivativeStirlinga2.m»:

Файл «DerivativeBesselya1.m»:

Файл «DerivativeBesselya2.m»:

Файл «detectindex.m»:

Файл «poldecrement.m»:

 

Значения первой и второй производных:

2.8800 5.0300    4.3800 4.4100
Ньютона y’ 0.2520 3.8330 2.2050 2.2050
y’’ 0.2296 3.9909 2.5200 2.5200
Гаусса y’ 0.2376 4.5066 2.0136 2.0136
y’’ 0.1468 3.1794 2.6738 2.6738
Стирлинга y’ 0.1870 5.0222 2.6396 2.6396
y’’ 0.2556 3.4309 3.4852 3.4852
Бесселя y’ 0.2670 3.8738 3.8738 1.5074
y’’ 0.7320 3.4975 2.2258 2.2258

 

Таблица разностей:

∆y ∆2y ∆3y ∆4y ∆5y
-0.3240 -0.0620 0.0280 0.0160 -0.0000
-0.3860 -0.0340 0.0440 0.0160 -0.0010
-0.4200 0.0100 0.0600 0.0150 0.0000
-0.4100 0.0700 0.0750 0.0150 0.0000
-0.3400 0.1450 0.0900 0.0150 -0.0010
-0.1950 0.2350 0.1050 0.0140 0.0000
0.0400 0.3400 0.1190 0.0140 0.0000
0.3800 0.4590 0.1330 0.0140 0
0.8390 0.5920 0.1470 0 0
1.4310 0.7390 0 0 0
2.1700 0 0 0 0
0 0 0 0 0

Программа для вычисления левой, правой, центральной, второй центральной, третьей центральной производных:

 

Результаты:

H=0.1

Производная 2.8800       5.0300             4.3800             4.4100
Левая

Правая

Центральная

2-я центральная

3-я центральная

300.2639     1.6603e+003   1.0954e+003   1.1567e+003

334.6418     1.7611e+003   1.1726e+003   1.1567e+003

317.4529     1.7107e+003   1.1340e+003   1.1567e+003

343.9584   1.0078e+003   771.9984         781.9710

231.3600       386.1600       339.3600         511.5908

H=1e-3

Производная 2.8800 5.0300 4.3800 4.4100
Левая

Правая

Центральная

2-я центральная

3-я центральная

316.8954

317.2392

317.0673

343.7184

231.3600

1.7095e+003

1.7106e+003

1.7101e+003

1.0076e+003

386.1597

1.1330e+003

1.1338e+003

1.1334e+003

771.7584

339.3595

1.1563e+003

1.1571e+003

1.1567e+003

781.9716

341.5198

 

H=1e-5

 

Производная 2.8800 5.0300 4.3800 4.4100
Левая

Правая

Центральная

2-я центральная

3-я центральная

317.0655

317.0690

317.0673

343.7184

255.7954

1.7100e+003

1.7101e+003

1.7101e+003

1.0076e+003

852.6513

1.1334e+003

1.1334e+003

1.1334e+003

771.7586

625.2776

1.1567e+003

1.1567e+003

1.1567e+003

781.9710

511.5908

 

Графики зависимости погрешности численного дифференцирования от шага h:

Графики зависимости погрешности численного дифференцирования от шага h

Графики зависимости погрешности численного дифференцирования от шага h

Графики зависимости погрешности численного дифференцирования от шага h

Графики зависимости погрешности численного дифференцирования от шага h

Графики зависимости погрешности численного дифференцирования от шага h

Графики зависимости погрешности численного дифференцирования от шага h

Выводы.

Производные для функции данной функции были найдены при помощи интерполяционной формулы Ньютона а также аналитически. Для неё были также найдены левая, правая и центральная производные первого порядка, и центральные производные второго и третьего порядка. Были построены графики зависимости точности от шага дифференцирования.


Поделиться:
1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.

*